Đề bài

a) Tìm các điểm thuộc \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2}\) có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau và khác (0;0)

b) Cho phương trình \(3{x^2} + 2x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2\).

Phương pháp giải

a) Biểu diễn điểm có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau.

Thay vào hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) để tìm các điểm thoả mãn.

b) Dùng \(ac < 0\) để xác định số nghiệm của phương trình.

Tính tổng và tích của hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) theo định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Biến đổi biểu thức M để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Gọi toạ độ điểm có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau là \(\left( {{x_0}; - {x_0}} \right)\).

Vì \({y_0} =  - {x_0}\) nên \( - {x_0} = \frac{{ - 1}}{4}x_0^2\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4}x_0^2 - {x_0} = 0\\{x_0}\left( {\frac{1}{4}{x_0} - 1} \right) = 0\end{array}\)

\({x_0} = 0\) hoặc \(\frac{1}{4}{x_0} - 1 = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \(\frac{1}{4}{x_0} = 1\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 4\)

suy ra \({y_0} = 0\) hoặc \({y_0} =  - 4\)

Do đó ta được \(\left( {0;0} \right)\) (loại) và \(\left( {4; - 4} \right)\).

Vậy điểm \(\left( {4; - 4} \right)\) thuộc \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2}\).

b) \(3{x^2} + 2x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2\).

Xét phương trình \(3{x^2} + 2x - 3 = 0\) ta có: \(ac = 3.\left( { - 3} \right) =  - 9 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{3}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{3} =  - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2\)

\(\begin{array}{l} = {x_1}{x_2} - x_1^2 - 2x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\\ =  - x_1^2 + 3{x_1}{x_2} - x_2^2\\ =  - \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 5{x_1}{x_2}\\ =  - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 5{x_1}{x_2}\\ =  - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right)\\ = \frac{{ - 49}}{9}\end{array}\)

Vậy \(M = \frac{{ - 49}}{9}\).