Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HD vuông góc với AC tại D.

a) Chứng minh tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh AE.AK = AH.AC.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta AEH\) và \(\Delta ADH\) cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH nên tứ giác AEHD nội tiếp.

b) Chứng minh $\Delta AHE\backsim \Delta ABH$ suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {ABH}\).

Kết hợp với \(\widehat {ABH} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {AKC}\)

Chứng minh $\Delta EAH\backsim \Delta CAK$ suy ra \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\) nên \(AE.AK = AH.AC\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét $\Delta AEH$ vuông tại E nên $\Delta AEH$ nội tiếp đường tròn đường kính AH, do đó A, E, H thuộc đường tròn đường kính AH.

Xét $\Delta ADH$ vuông tại D nên $\Delta ADH$ nội tiếp đường tròn đường kính AH, do đó A, D, H thuộc đường tròn đường kính AH.

Do đó bốn điểm A, E, H, D thuộc đường tròn đường kính AH hay tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.

b) Vì AK là đường kính của (O) nên \(\widehat {ACK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ABH\) có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {AHB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat A\) chung

nên $\Delta AHE\backsim \Delta ABH$ suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {ABH}\).

Mà \(\widehat {ABH} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {AKC}\)

Xét \(\Delta EAH\) và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {ACK}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {AHE} = \widehat {AKC}\) (cmt)

nên $\Delta EAH\backsim \Delta CAK$ suy ra \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\) nên \(AE.AK = AH.AC\).