Đề bài

Cho phương trình \(3{x^2} - 5x - 4 = 0\)

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1}\left( {{x_1} - 12} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 12} \right)\).

 

Phương pháp giải

a) Sử dụng \(ac < 0\) để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi P để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(a = 3,{\rm{ }}b =  - 5,{\rm{ }}c =  - 4\)

Vì \(a.c = 3.\left( { - 4} \right) =  - 12 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - \frac{{ - 5}}{3} = \frac{5}{3};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 4}}{3}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x_1}\left( {{x_1} - 12} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 12} \right)\\ = x_1^2 - 12{x_1} + x_2^2 - 12{x_2}\\ = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 12\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\{\mkern 1mu}  = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 12\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\{\mkern 1mu}  = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} - 2.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) - 12.\frac{5}{3} =  - \frac{{131}}{9}\end{array}\)

Vậy \(P =  - \frac{{131}}{9}\).