Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác gốc tọa độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình dạng ax + by + cz = 0. Tính tổng T = a + b + c.

Phương pháp giải

Mặt phẳng \((\alpha )\) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(m;0;0), B(0;n;0), C(0;0;p), \(m,n,p \ne 0\).

Lập phương trình mặt chắn của \((\alpha )\) (1)

M là trực tâm tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\) (2)

Từ (1) và (2), ta tìm được m, n, p. Đưa phương trình mặt chắn về dạng tổng quát, ta tìm được a, b, c.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Mặt phẳng \((\alpha )\) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(m;0;0), B(0;n;0), C(0;0;p), \(m,n,p \ne 0\). Ta có phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1\).

Mà \(M \in (\alpha ) \Leftrightarrow \frac{1}{m} + \frac{2}{n} + \frac{3}{p} = 1\) (1)

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = (1 - m;2;3)\), \(\overrightarrow {BM}  = (1;2 - n;3)\), \(\overrightarrow {BC}  = (0; - n;p)\), \(\overrightarrow {AC}  = ( - m;0;p)\).

M là trực tâm tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3p - 2n = 0\\3p - m = 0\end{array} \right.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m = 14; n = 7; \(p = \frac{{14}}{3}\).

Suy ra \((\alpha )\) có phương trình \(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\).

Vậy T = a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6.