Hải đăng là một ngọn tháp được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng (Oxy), trục Oz hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao 50 mét so với mực nước biển, biết đỉnh ở vị trí I(21;35;50). Biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của ngọn hải đăng trên là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = 16\).
b) Người đi biển coi là một điểm ở vị trí D(5121;658;0) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng trên.
c) Ngọn hải đăng phủ một vùng sáng trên mặt biển thì bán kính vùng sáng này là 3999,7 (làm tròn đến hàng phần mười của mét) giả sử yếu tố bị che khuất bởi địa hình là không đáng kể).
d) Giả sử người đi biển coi là một điểm từ vị trí D(5121;658;0) di chuyển theo đường thẳng đến chân ngọn hải đăng với tốc độ 7 hải lý/giờ (biết 1 hải lý bằng 1852 mét) thì mất 5,28 phút (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) để đến điểm đầu tiên nhìn thấy được ánh sáng ngọn hải đăng trên.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của ngọn hải đăng trên là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = 16\).
b) Người đi biển coi là một điểm ở vị trí D(5121;658;0) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng trên.
c) Ngọn hải đăng phủ một vùng sáng trên mặt biển thì bán kính vùng sáng này là 3999,7 (làm tròn đến hàng phần mười của mét) giả sử yếu tố bị che khuất bởi địa hình là không đáng kể).
d) Giả sử người đi biển coi là một điểm từ vị trí D(5121;658;0) di chuyển theo đường thẳng đến chân ngọn hải đăng với tốc độ 7 hải lý/giờ (biết 1 hải lý bằng 1852 mét) thì mất 5,28 phút (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) để đến điểm đầu tiên nhìn thấy được ánh sáng ngọn hải đăng trên.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.
Đổi: 4 km = 4000 m.
a) Sai. Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của ngọn hải đăng trên là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}\).
b) Sai. Khoảng cách từ người đi biển đến đỉnh ngọn hải đăng là:
\(ID = \sqrt {{{\left( {{x_D} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_D} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_D} - {z_I}} \right)}^2}} \)
\(= \sqrt {{{\left( {5121 - 21} \right)}^2} + {{\left( {658 - 35} \right)}^2} + {{\left( {0 - 50} \right)}^2}} \approx 5138\) (m).
Vì ID > 4000 nên người đi biển không nhìn được ánh sáng của ngọn hải đăng.
c) Đúng. Bán kính vùng sáng trên mặt biển là: \(\sqrt {{{4000}^2} - {{50}^2}} \approx 3999,7\) (m).
d) Sai. Chân ngọn hải đăng là H(21;35;0).
Ta có \(DH = \sqrt {{{(21 - 5121)}^2} + {{(35 - 658)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{{5100}^2} + {{623}^2}} \).
Khoảng cách từ người đó đến điểm đầu tiên nhìn thấy ánh sáng ngọn hải đăng là:
\(\sqrt {{{5100}^2} + {{623}^2}} - \sqrt {{{4000}^2} - {{50}^2}} \) (m).
Tốc độ di chuyển của người đó là 7 hải lý/giờ = 12964 mét/giờ.
Thời gian để người đó đến điểm đầu tiên nhìn thấy ánh sáng ngọn hải đăng là:
\(\frac{{\sqrt {{{5100}^2} + {{623}^2}} - \sqrt {{{4000}^2} - {{50}^2}} }}{{12964}}.60 \approx 5,27\) (phút).
Danh sách bình luận