Đề bài

Trong không gian, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(-3;1;6) và chuyển động theo đường cáp có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = (1; - 2;6)\) với tốc độ là 6 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 8 (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm B. Gọi tọa độ B(a;b;c). Tính a + b + c, kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Phương pháp giải

Lập phương trình tham số của đường cáp, từ đó suy ra tọa độ điểm B theo tham số.

Dựa vào khoảng cách AB và hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AB} \) để tính giá trị của tham số.

Thay tham số để tìm tọa độ điểm B, tính a + b + c và kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đường cáp là đường thẳng d đi qua A(-3;1;6), nhận \(\overrightarrow u  = (1; - 2;6)\) làm vecto chỉ phương nên có phương trình là d: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + n\\y = 1 - 2n\\z = 6 + 6n\end{array} \right.\) \((n \in \mathbb{R})\).

Vì B thuộc đường cáp nên \(B( - 3 + n;1 - 2n;6 + 6n)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3 + n + 3;1 - 2n - 1;6n + 6 - 6} \right) = \left( {n; - 2n;6n} \right)\).

Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( n \right)}^2} + {{\left( {2n} \right)}^2} + {{\left( {6n} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{n^2} + 4{n^2} + 36{n^2}}  = \sqrt {41{n^2}}  =  \pm n\sqrt {41} \) (m).

Mặt khác, cabin chuyển động với vận tốc 6 m/s, do đó sau 8 (s) cabin đi được quãng đường AB = 6.8 = 48 (m).

Do đó \(AB =  \pm n\sqrt {41}  = 48 \Rightarrow n =  \pm \frac{{48}}{{\sqrt {41} }}\).

Vì \(\overrightarrow {AB}  = \left( {n; - 2n;6n} \right)\) cùng hướng với \(\overrightarrow u  = (1; - 2;6)\) nên \({x_{\overrightarrow {AB} }}\) cùng dấu với \({x_{\overrightarrow u }}\), hay n cùng dấu với 1. Do đó, n > 0. Suy ra \(n = \frac{{48}}{{\sqrt {41} }}\).

Ta có \(B\left( { - 3 + \frac{{48}}{{\sqrt {41} }};1 - 2.\frac{{48}}{{\sqrt {41} }};6 + 6.\frac{{48}}{{\sqrt {41} }}} \right)\).

Vậy \(a + b + c =  - 3 + \frac{{48}}{{\sqrt {41} }} + 1 - 2.\frac{{48}}{{\sqrt {41} }} + 6 + 6.\frac{{48}}{{\sqrt {41} }} = 4 + 5.\frac{{48}}{{\sqrt {41} }} \approx 41,5\).