Trong cơ khí chế tạo, một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ bên, nhận AB và CD làm các trục đối xứng. Ngıời ta sơn cả hai mặt của chi tiết máy này. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính 5 dm, các đường tròn nhỏ đều có bán kính 2 dm, AB = CD = 4 dm và chi phí sơn là 100 000 đồng/\({m^2}\). Chi phí để sơn chi tiết máy này bằng bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Gắn hệ trục tọa độ Oxy ở vị trí phù hợp.
Lập phương trình hai nửa đường tròn giới hạn phần khuyết của mặt đĩa.
Ứng dụng tích phân tính diện tích các phần khuyết của mặt đĩa.
Tính diện tích hai mặt cần sơn của đĩa rồi tính chi phí.
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O là giao điểm của AB và CD; B thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy.
Gọi đường tròn lớn là \(({C_1})\), đường tròn nhỏ là \(({C_2})\).
\(({C_1})\) tâm O(0;0), bán kính bằng 5 có phương trình \({x^2} + {y^2} = 25\).
Nửa đường tròn \(({C_1})\) nằm phía trên trục Ox có phương trình \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \).
\(({C_2})\) tâm có tọa độ là (4;0), bán kính bằng 2 có phương trình \({(x - 4)^2} + {y^2} = 4\).
Nửa đường tròn \(({C_2})\) nằm phía trên trục Ox có phương trình \(y = \sqrt {4 - {{(x - 4)}^2}} \).
Diện tích hình tròn lớn là \(\pi {.5^2} = 25\pi \) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Gọi diện tích một mặt cần sơn là \(S\), diện tích phần tô màu (vàng + xanh) là \(M\).
Khi đó, \(S = 25\pi - 8M\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Ta có \(\sqrt {25 - {x^2}} = \sqrt {4 - {{(x - 4)}^2}} \Leftrightarrow 25 - {x^2} = 4 - {(x - 4)^2}\)
\( \Leftrightarrow 25 - {x^2} = 4 - {x^2} + 8x - 16 \Leftrightarrow 8x = 37 \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}\).
Khi đó \(M = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{(x - 4)}^2}} dx} + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} \).
Suy ra \(S = 25\pi - 8\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{(x - 4)}^2}} dx} + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} } \right)\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Vì cần phủ sơn 2 mặt của chi tiết máy nên tổng diện tích cần sơn là:
\(2S = 50\pi - 16\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{(x - 4)}^2}} dx} + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} } \right)\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Chi phí sơn là 100 000 đồng/\({m^2}\) = 1 000 đồng/\(d{m^2}\).
Vậy tổng chi phí sơn là:
\(1000.2S = 1000.50\pi - 1000.16\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{(x - 4)}^2}} dx} + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} } \right) \approx 79486\) đồng \( \approx 79,5\) nghìn đồng.
Các lý thuyết được ứng dụng:
1. Hệ trục tọa độ và phương trình đường tròn:
Hệ trục tọa độ Oxy được sử dụng để biểu diễn hình học bằng phương trình đại số. Phương trình đường tròn với tâm (a;b) và bán kính R là $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Nếu tâm là gốc tọa độ (0;0), phương trình là $x^2 + y^2 = R^2$.
2. Tìm giao điểm của các đường cong:
Để tìm điểm giao nhau giữa hai đường cong có phương trình y = f(x) và y = g(x), ta giải phương trình f(x) = g(x) để tìm giá trị x của giao điểm.
3. Tính diện tích bằng tích phân:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ (với $f(x) \ge 0$), trục hoành và hai đường thẳng đứng x = a, x = b được tính bằng tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $. Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) giữa x = a và x = b, diện tích được tính bằng $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $.
Danh sách bình luận