Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O ; R). Kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AK cắt DE tại F. Chứng minh AK \( \bot \)DE.

c) Gọi G là giao điểm của AH và BC. Nếu biết \(\widehat {ACB} = 60^\circ \) và R = 5cm. Tính đường kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADG\) (làm tròn hàng phần mười).

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta BEC\) và \(\Delta BDC\) cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC nên tứ giác BCDE nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat {ADE} = \widehat {AKC}\) dựa vào tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp BCDE và tính chất hai góc kề bù.

Suy ra $\Delta ADF\backsim \Delta AKC$ nên \(\widehat {AFD} = 90^\circ \) suy ra AK \( \bot \)DE

c) Chứng minh H là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra AH \( \bot \) BC

Chứng minh tứ giác ABGD nội tiếp đường tròn đường kính AB

suy ra đường kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADG\) là AB

Chứng minh $\Delta ABG\backsim \Delta AKC$ suy ra \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AG}}{{AC}}\)

Sử dụng tỉ số lượng giác \(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AG}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AB}}{{AK}} = \sin \widehat {ACB}\)

Giải để tính AB.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại E nên \(\Delta BEC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC, do đó B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét \(\Delta BDC\) vuông tại D nên \(\Delta BDC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC, do đó B, D, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn đường kính BC hay \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vì BCDE là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {CBE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

và \(\widehat {ADE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) suy ra \(\widehat {CBE} = \widehat {ADE}\)

Mà \(\widehat {CBE} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Do đó \(\widehat {ADE} = \widehat {AKC}\)

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta AKC\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {ADF} = \widehat {AKC}\) (\(\widehat {ADE} = \widehat {AKC}\))

nên $\Delta ADF\backsim \Delta AKC$ suy ra \(\widehat {AFD} = \widehat {ACK} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng và \(\widehat {ACK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó AK \( \bot \)DE

c) Vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC và BD cắt CE tại H nên H là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra AH \( \bot \) BC tại G.

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại D nên \(\Delta ABD\) nội tiếp đường tròn đường kính AB, do đó A, B, D thuộc đường tròn đường kính AB.

Xét \(\Delta ABG\) vuông tại G nên \(\Delta ABG\) nội tiếp đường tròn đường kính AB, do đó A, B, G thuộc đường tròn đường kính AB.

Do đó bốn điểm A, B, G, D thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác ABGD nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Suy ra đường kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADG\) là AB.

Xét \(\Delta ABG\) và \(\Delta AKC\) có:

\(\widehat {AGB} = \widehat {ACK}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {ABG} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

nên $\Delta ABG\backsim \Delta AKC$ suy ra \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AG}}{{AC}}\)

Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông AGC, ta có: \(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AG}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AK}} = \sin \widehat {ACB}\).

Thay số, ta được:

\(\frac{{AB}}{{2.5}} = \sin 60^\circ \) suy ra \(AB = \sin 60^\circ .2.5 = 5\sqrt 3  \approx 8,7\left( {cm} \right)\)

Vậy đường kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADG\) khoảng 8,7cm.