Đề bài

a) Tìm bằng phép tính tọa độ các điểm M thuộc (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có tung độ là 8.

b) Cho phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right)\)

Phương pháp giải

a) Thay tung độ bằng 8 vào hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) để tìm hoành độ của M tương ứng.

b) Dùng \(ac < 0\) để xác định số nghiệm của phương trình.

Tính tổng và tích của hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) theo định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Biến đổi biểu thức A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Thay y = 8 ta được:

\(\begin{array}{l}8 = \frac{1}{2}{x^2}\\{x^2} = 8:\frac{1}{2}\\{x^2} = 16\\x =  \pm 4\end{array}\)

Vậy toạ độ của điểm M là: \(M\left( { - 4;8} \right);M\left( {4;8} \right)\).

b) Xét phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) ta có: \(ac = 1.\left( { - 8} \right) =  - 8 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{{\left( { - 2} \right)}}{1} = 2\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{{ - 8}}{1} =  - 8\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {x_1}{x_2} + 2x_2^2 + 2x_1^2 + 4{x_1}{x_2}\\ = {x_1}{x_2} + 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\\ =  - 8 + {2.2^2} = 0\end{array}\)

Vậy \(A = 0\).