Hệ thống phòng không "Vòm sắt" là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Israel. Để "Vòm sắt" hoạt động được chính xác, người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, một hệ thống "Vòm sắt" đang ở vị trí O(0;0;0) và một quả tên lửa đang ở vị trí A(688;185;-8) được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = ( - 91; - 75;0)\).
a) Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 417\).
b) Radar phát hiện một quả tên lửa ngay tại vị trí được phóng lên.
c) Giả sử hệ thống “Vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa. Khi đó, vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên màn hình Radar là B(415;-40;-8).
d) Nếu hệ thống gặp trục trặc không bắn hạ được tên lửa thì khoảng cách gần nhất từ hệ thống “Vòm sắt” đến quả tên lửa là xấp xỉ 190 km.
a) Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 417\).
b) Radar phát hiện một quả tên lửa ngay tại vị trí được phóng lên.
c) Giả sử hệ thống “Vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa. Khi đó, vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên màn hình Radar là B(415;-40;-8).
d) Nếu hệ thống gặp trục trặc không bắn hạ được tên lửa thì khoảng cách gần nhất từ hệ thống “Vòm sắt” đến quả tên lửa là xấp xỉ 190 km.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.
a) Sai. Mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng là mặt cầu tâm O(0;0;0), bán kính R = 417 có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {417^2}\).
b) Sai. Khoảng cách từ Radar đến vị trí quả tên lửa được bắn lên là:
\(OA = \sqrt {{{688}^2} + {{185}^2} + {{( - 8)}^2}} = \sqrt {507633} \approx 721\) (km).
Vì OA > R nên vị trí quả tên lửa được bắn lên nằm ngoài vùng phủ sóng của Radar. Khi đó, Radar không phát hiện được.
c) Sai. Quỹ đạo tên lửa là đường thẳng d đi qua điểm A(688;185;-8), nhận \(\overrightarrow u = ( - 91; - 75;0)\) làm vecto chỉ phương nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 688 - 91t\\y = 185 - 75t\\z = - 8\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Ta có B(688 – 91t; 185 – 71t; -8) là một điểm thuộc d.
Để B là giao điểm của của đường thẳng d với mặt cầu phủ sóng của Radar thì:
\({(688 - 91t)^2} + {(185 - 71t)^2} + {( - 8)^2} = {417^2}\)
\( \Leftrightarrow 15906{t^2} - 152966t + 333744 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 3\end{array} \right.\)
Với t = 8, ta có B(-40;-415;-8), \(AB = \sqrt {{{( - 40 - 688)}^2} + {{( - 415 - 185)}^2} + {{( - 8 + 8)}^2}} = 943\) (km).
Với t = 3, ta có B(415;-40;-8), \(AB = \sqrt {{{(415 - 688)}^2} + {{( - 40 - 185)}^2} + {{( - 8 + 8)}^2}} = 354\) (km).
Vì 354 < 943 nên vị trí đầu tiên quả tên lửa xuất hiện trên Radar có tọa độ (415;-40;-8), vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên Radar có tọa độ (-40;-415;-8).
d) Sai. Gọi H(688 – 91t; 185 – 71t; -8) là vị trí “Vòm sắt” gần quả tên lửa nhất.
Khi đó, H là hình chiếu của O trên d, hay \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = 0\)
\( \Leftrightarrow (688 - 91t).( - 91) + (185 - 75t).( - 75) + ( - 8).0 = 0\)
\( \Leftrightarrow 13906t - 76483 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{2}\).
Suy ra \(H\left( {\frac{{375}}{2}; - \frac{{455}}{2}; - 8} \right)\).
Khoảng cách đó là \(OH = \sqrt {{{\left( {\frac{{375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{455}}{2}} \right)}^2} + ( - 8)} \approx 295\) (km).
Danh sách bình luận