Đề bài

Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải là \({S_1}\)) và phần dạng hình vành khuyên (có tổng diện tích vải là \({S_2}\) với các kích thước như hình vẽ). Tính tổng r + d sao cho biểu thức \(P = 3{S_2} - {S_1}\) đạt giá trị lớn nhất. (không kể viền, mép, phần thừa)

Phương pháp giải

Biểu diễn d bằng biểu thức chứa r.

Tính diện tích vải để may phần dạng hình trụ:

\({S_1}\) = diện tích xung quanh hình trụ + diện tích 1 đáy của hình trụ.

Tính diện tích vải để may phần dạng hình vành khuyên:

\({S_2}\) = \({S_{vk}} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)\,\left( {R > r} \right)\)

Khi đó ta viết được biểu thức P.

Biến đổi biểu thức về dạng \(P = \pi \left[ {A - f{{\left( x \right)}^2}} \right] \le A\pi \). Khi đó giá trị lớn nhất của P là A khi \(f\left( x \right) = 0\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(d = 2.11 + 2r = 2r + 22\left( {cm} \right)\)

Diện tích vải để may phần dạng hình trụ là:

\({S_1} = 2\pi rh + \pi {r^2} = 2.30.\pi r + \pi {r^2} = 60\pi r + \pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích vải để may phần dạng hình vành khuyên là:

\({S_2} = \pi \left[ {{{\left( {r + 11} \right)}^2} - {r^2}} \right] = \pi \left( {22r + 121} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)

Khi đó biểu thức P là:

\(\begin{array}{l}P = 3{S_2} - {S_1}\\ = 3\pi \left( {22r + 121} \right) - 60\pi r - \pi {r^2}\\ = 66\pi r + 363\pi  - 60\pi r - \pi {r^2}\\ = 363\pi  + 6\pi r - \pi {r^2}\\ = \pi \left( {363 + 6r - {r^2}} \right)\\ = \pi \left[ { - {r^2} + 6r - 9 + 372} \right]\\ = \pi \left[ { - {{\left( {r - 3} \right)}^2} + 372} \right] \le 372\pi \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(r - 3 = 0\) suy ra \(r = 3\). Khi đó P đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra \(d = 2.3 + 22 = 6 + 22 = 28\left( {cm} \right)\).

Vậy tổng \(r + d = 3 + 28 = 31\) thì P đạt giá trị lớn nhất là \(372\pi \).