Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AD của \(\Delta ABC\) và đường kính AE của đường tròn (O). Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AE.
a) Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp.
b) Chứng minh: AB.AC = AD.AE.
c) Chứng minh: DF \( \bot \) AC.
a) Chứng minh \(\Delta ABD\) và \(\Delta ABF\) nội tiếp đường tròn đường kính AB nên bốn điểm A, B, D, F cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AB hay tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn đường kính AB.
b) Chứng minh $\Delta ADB~\backsim \Delta ACE$ (g.g) suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \;\frac{{AB}}{{AE}}\) nên AD.AE = AC.AB
c) Chứng minh \(\widehat {DFE} = \widehat {AEC}\) suy ra DF // EC và EC \( \bot \) AC nên DF \( \bot \) AC
a) Xét \(\Delta ABD\) vuông tại D \(\left( {AD \bot BD} \right)\) nên \(\Delta ABD\) nội tiếp đường tròn đường kính AB, suy ra A, B, D thuộc đường tròn đường kính AB.
Xét \(\Delta ABF\) vuông tại F \(\left( {AF \bot BF} \right)\) nên \(\Delta ABF\) nội tiếp đường tròn đường kính AB, suy ra A, B, F thuộc đường tròn đường kính AB.
Do đó A, B, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn đường kính AB.
b) Vì \(\widehat {ACE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta AEC\) vuông tại C.
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACE}\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat {ABD} = \widehat {AEC}\) (hai góc nội tiếp chắn cung AC)
nên $\Delta ABD\backsim \Delta AEC\left( g.g \right)$
suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \;\frac{{AC}}{{AE}}\) nên \(AD.AE = AC.AB\).
c) Vì ABDF là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AFD} + \widehat {ABD} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà \(\widehat {AFD} + \widehat {DFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DFE}\)
Kết hợp với \(\widehat {ABD} = \widehat {AEC}\) (hai góc nội tiếp chắn cung AC)
Suy ra \(\widehat {DFE} = \widehat {AEC}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DF // CE.
Mà \(EC \bot AC\) (\(\widehat {ACE} = 90^\circ \)) nên \(DF \bot AC\).
Danh sách bình luận