Đề bài

Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm M(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + bt\\z =  - 2 + ct\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó giá trị của biểu thức \(P = {b^2} + {c^2}\) là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {{n_P}} \) là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + bt\\z =  - 2 + ct\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 4;b;c} \right)\).

Tìm b, c sao cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\).

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + bt\\z =  - 2 + ct\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 4;b;c} \right)\) (2).

Vì \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) đều là vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm nên chúng cùng phương với nhau.

Suy ra \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{1}{b} = \frac{{ - 3}}{c} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 6\end{array} \right.\)

Vậy \(P = {b^2} + {c^2} = {( - 2)^2} + {6^2} = 40\).