Đề bài

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình z = 0 đồng thời thuộc mặt cầu \((S):{\left( {x - 32} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 109\) (đơn vị độ dài tính theo mét). Gọi J là hình chiếu vuông góc của tâm I mặt cầu trên mặt sân. Khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Tìm tọa độ của J.

\(JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}} \) với IM là bán kính của mặt cầu (S).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Mặt cầu (S) có tâm I(32; 50; 10) và bán kính \(R = \sqrt {109} \).

Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình z = 0 trùng với mặt phẳng (Oxy), suy ra hình chiếu vuông góc của I xuống mặt sân có tọa độ J(32; 50; 0).

Ta có \(IJ = \sqrt {{{(32 - 32)}^2} + {{(50 - 50)}^2} + {{(0 - 10)}^2}}  = 10\).

Xét tam giác vuông IJM có IJ = 10, \(IM = R = \sqrt {109} \), theo định lí Pythagore:

\(JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}}  = \sqrt {109 - 100}  = 3\).