Đề bài

Cho phương trình \({\left( {2x} \right)^2} - x\left( {x + 4} \right) =  - 1\)

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 - \frac{4}{3}{x_1} - x_2^2 + \frac{4}{3}{x_2} + {\left( {3{x_1}.{x_2}} \right)^2}\).

 

Phương pháp giải

a) Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn.

Sử dụng \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) để kiểm tra nghiệm của phương trình.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Thay tổng, tích vào A để tính toán dễ dàng trong quá trình biến đổi.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \({\left( {2x} \right)^2} - x\left( {x + 4} \right) =  - 1\)

\(\begin{array}{l}4{x^2} - {x^2} - 4x + 1 = 0\\3{x^2} - 4x + 1 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.3.1 = 16 - 12 = 4 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{ - 4}}{3} = \frac{4}{3};{x_1}.{x_2} = \frac{1}{3}\)

Ta có: \(A = x_1^2 - \frac{4}{3}{x_1} - x_2^2 + \frac{4}{3}{x_2} + {\left( {3{x_1}.{x_2}} \right)^2}\)

\( = x_1^2 - x_2^2 - \frac{4}{3}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 9{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)^2}\)

\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right).\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \frac{4}{3}.\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 9{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)^2}\)

Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{4}{3}\) vào A, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{4}{3}.\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \frac{4}{3}.\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 9{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)^2}\\ = 9{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)^2} = 9{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1\end{array}\)

Vậy \(A = 1\)