Đề bài

Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\).

• A. \(x + y = 2018\)                             
• B. \(x + y = 2\)
• C. \(x + y = 1\) 
• D. \(x + y = 0\)

Phương pháp giải

+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\) và giả thiết để chỉ ra \(\sqrt {{x^2} + 2018}  - x = \sqrt {{y^2} + 2018}  + y\) và \(\sqrt {{y^2} + 2018}  - y=\sqrt {{x^2} + 2018}  + x\)

+ Từ đó tìm ra giá trị của \(x + y\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Nhận xét: \(\left( {\sqrt {{x^2} + 2018}  + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2018}  - x} \right) = {x^2} + 2018 - {x^2} = 2018\) và \(\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} + y} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} - y} \right) = {y^2} + 2018 - {y^2} = 2018\)

Kết hợp với giả thiết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\) ta có:

\(\frac{2018}{\sqrt {x^2+2018}-x}.\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} + y} \right) = 2018\) suy ra \(\sqrt {{x^2} + 2018}  - x = \sqrt {{y^2} + 2018}  + y\) và 

\(\left( {\sqrt {{x^2} + 2018}  + x} \right).\frac{2018}{\sqrt {y^2+2018}-y} = 2018\) suy ra \(\sqrt {{y^2} + 2018}  - y=\sqrt {{x^2} + 2018}  + x\)

\( \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2018}  + y + \sqrt {{x^2} + 2018}  + x = \sqrt {{x^2} + 2018}  - x + \sqrt {{y^2} + 2018}  - y \Leftrightarrow 2\left( {x + y} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y = 0.\)

Đáp án : D