Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M \( \ne \) A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp.
b) Chứng minh rằng \(\widehat {CAM} = \widehat {ODM}\).
c) Gọi P là giao điểm CD và AB; E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. Chứng minh PA.PO = PC.PM và E, F, P thẳng hàng.
a) Chứng minh $\Delta CAO$ và $\Delta CMO$ cùng thuộc đường tròn đường kính CO.
Do đó A, C, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính CO hay tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn đường kính CO.
b) Chứng minh $\widehat{CAM}=\widehat{ABM}$
Chứng minh tứ giác DMOB nội tiếp nên $\widehat{ABM}=\widehat{ODM}$.
Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{ODM}$.
c) Chứng minh PA.PO = PC.PM
Chứng minh $\Delta PAC\backsim \Delta PMO$ (g.g) suy ra PA.PO = PC.PM.
Chứng minh E, F, P thẳng hàng
Sử dụng kiến thức về đường trung trực của đoạn thẳng để chứng minh C là trung điểm của AF, D là trung điểm của BE.
Chứng minh \(\frac{PC}{PD}=\frac{CF}{DE}\)
Giả sử E’ là giao điểm của PF và BD.
Chứng minh $\frac{PC}{PD}=\frac{CF}{DE'}$ (hai cặp cạnh tương ứng) (6)
Suy ra chứng minh được $BD=DE'$.
Do đó D là trung điểm của BE’ nên E trùng với E’.
Vậy E, F, P thẳng hàng.
a) Vì AC và MC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(\widehat {CAO} = 90^\circ ,\widehat {CMO} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta CAO\) vuông tại A \(\left( {\widehat {CAO} = 90^\circ } \right)\) nên \(\Delta CAO\) nội tiếp đường tròn đường kính CO, suy ra C, A, O thuộc đường tròn đường kính CO.
Xét \(\Delta CMO\) vuông tại M \(\left( {\widehat {CMO} = 90^\circ } \right)\) nên \(\Delta CMO\) nội tiếp đường tròn đường kính CO, suy ra C, M, O thuộc đường tròn đường kính CO.
Do đó A, C, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính CO hay tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn đường kính CO.
b) Ta có: \(\widehat {CAM} + \widehat {MAB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) (1)
Vì \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta AMB\) vuông tại M, suy ra \(\widehat {MAB} + \widehat {ABM} = 90^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {ABM}\) (3)
Xét \(\Delta DMO\) vuông tại M \(\left( {\widehat {DMO} = 90^\circ } \right)\) nên D, M, O thuộc đường tròn đường kính OD.
Xét \(\Delta DBO\) vuông tại B \(\left( {\widehat {DBO} = 90^\circ } \right)\) nên D, B, O thuộc đường tròn đường kính OD.
Do đó D, M, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OD hay tứ giác DMOB nội tiếp đường tròn đường kính OD.
Do đó \(\widehat {ABM} = \widehat {ODM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {ODM}\).
c) Chứng minh PA.PO = PC.PM
Xét \(\Delta PAC\) và \(\Delta PMO\) có:
\(\widehat P\) chung
\(\widehat {PAC} = \widehat {PMO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
suy ra $\Delta PAC\backsim \Delta PMO$ (g.g)
Suy ra \(\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{PM}}{{PO}}\) (tỉ lệ các cặp cạnh tương ứng)
Suy ra PA.PO = PC.PM.
Chứng minh E, F, P thẳng hàng
Vì CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) nên CA = CM, do đó C thuộc đường trung trực của AM.
OA = OM nên O thuộc đường trung trực của AM.
Do đó OC là đường trung trực của AM, hay $OC\bot AM$.
Mà $BM\bot AM$ (do $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên OC // BM hay OC // BF.
Mà O là trung điểm của AB nên C là trung điểm của AF.
Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của BE.
Vì $AC\bot AB,BD\bot AB$ (hai tiếp tuyến của đường tròn) nên $AC//BD$ suy ra $\Delta PAC\backsim \Delta PBD$ (định lí hai tam giác đồng dạng)
Do đó \(\frac{PC}{PD}=\frac{AC}{BD}=\frac{CF}{DE}\) (vì C là trung điểm của AF, D là trung điểm của BE) (5)
Giả sử E’ là giao điểm của PF và BD.
Vì $AC//BD$ nên CF // DE’.
suy ra $\Delta PCF\backsim \Delta PDE'$ (định lí hai tam giác đồng dạng)
Do đó $\frac{PC}{PD}=\frac{CF}{DE'}$ (hai cặp cạnh tương ứng) (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\frac{CF}{DE}=\frac{CF}{DE'}$ hay $DE=DE'$ nên $BD=DE'$.
Do đó D là trung điểm của BE’. Mà D là trung điểm của BE nên E trùng với E’.
Vậy E, F, P thẳng hàng.
Danh sách bình luận