Đề bài

a) Tìm \(a\) để đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right).\)

b) Cho phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(M = \left( {1 - 25{x_1}} \right){x_1} - {x_2}\left( {25{x_2} - {x_1} - 1} \right)\).

Phương pháp giải

a) Thay toạ độ của điểm M vào hàm số để tìm a.

b) Dùng \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) để xác định số nghiệm của phương trình.

Tính tổng và tích của hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) theo định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Biến đổi biểu thức M để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Để đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right)\) thì

\(2 = a.{(\sqrt 2 )^2}\)

\(2 = a.2\)

\(a = 1\)

Vậy với \(a = 1\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right).\)

b) Xét phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có: \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.12 = 49 - 48 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7\\P = {x_1}{x_2} = \frac{{12}}{1} = 12\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left( {1 - 25{x_1}} \right){x_1} - {x_2}\left( {25{x_2} - {x_1} - 1} \right)\\ = {x_1} - 25x_1^2 - 25x_2^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}\\ =  - 25x_1^2 - 25x_2^2 - 50{x_1}{x_2} + 50{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}\\ =  - 25\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 51{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ =  - 25{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 51{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ =  - {25.7^2} + 51.12 + 7\\ =  - 606\end{array}\)

Vậy \(M =  - 606\)