Đề bài

Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng (xem hình minh họa). Biết rằng có 12 lít nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính thể tích của phễu.

Phương pháp giải

Gọi O là tâm của đáy, C là đỉnh, CA là một đường sinh của hình nón ban đầu.

Gọi tâm của đường tròn đáy thùng đựng nước là O’, B là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho B nằm trên đường sinh CA của hình nón ban đầu.

Chứng minh \(\Delta CO'B\) đồng dạng với \(\Delta CO'B\), từ đó suy ra tỉ lệ chiều cao của phễu so với hình nón ban đầu.

Gọi \(V\) là thể tích hình nón ban đầu, \({V_p}\) là thể tích phễu, \({V_t}\) là thể tích thùng chứa đầy nước.

Ta có: \(V = 2{V_p} + {V_t}\).

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\) với r là bán kính đáy, h là chiều cao để tìm \({V_p}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi O là tâm của đáy, C là đỉnh, CA là một đường sinh của hình nón ban đầu.

Gọi O’ tâm của đường tròn đáy thùng đựng nước, B là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho B nằm trên đường sinh CA của hình nón ban đầu.

Xét \(\Delta CO'B\) và \(\Delta COA\), có:

\(\widehat {ACO}\) chung;

\(\widehat {CO'B} = \widehat {COA} = {90^o}\) (vì trục CO vuông góc với hai mặt phẳng đáy thùng).

Do đó \(\Delta CO'B\backsim \Delta CO'B\) (g.g), suy ra \(\frac{{CO}}{{CO'}} = \frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{OA}}{{O'B}} = 2\) (do bán kính miệng thùng gấp hai lần bán kính đáy thùng).

Gọi \(V\) là thể tích khối nón ban đầu, \({V_p}\) là thể tích phễu, \({V_t} = 12\) là thể tích thùng chứa đầy nước.

Ta có: \(V = 2{V_p} + {V_t}\).

Mặt khác:

\(\frac{{{V_p}}}{V} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .O'{B^2}.CO'}}{{\frac{1}{3}\pi .O{A^2}.CO}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .{{\left( {\frac{{OA}}{2}} \right)}^2}.\frac{{CO}}{2}}}{{\frac{1}{3}\pi .O{A^2}.CO}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\) hay \(V = 8{V_p}\).

Do đó: \(8{V_p} = 2{V_p} + {V_t}\) hay \(6{V_p} = {V_t} = 12\).

Vậy thể tích của phễu là 2 lít.