Đề bài

Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD được quy hoạch như hình bên. Biết đường cong là đường hình sin của hàm số dạng y = asin(bx). Biết AB = \(2\pi \) (m) và AD = 4 (m). Phần tô đậm (giới hạn bởi đường cong và đoạn MN) được sử dụng để trồng hoa. Tính diện tích phần còn lại của mảnh vườn (đơn vị: \({m^2}\), làm tròn đến hàng phần chục).

Phương pháp giải

Quan sát biên độ và chu kì của đồ thị để tìm hệ số a, b. Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng bẳng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của MN, đoạn thẳng ON nằm trên trục Ox.

Hàm số có biên độ là \(a = \frac{{AD}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

Hàm số có chu kì \(2\pi \) nên \(2\pi  = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} \Rightarrow \left| b \right| = 1\).

Giả sử b = 1, ta có y = 2sinx. Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow y = 2\sin \frac{\pi }{2} = 2\) (thõa mãn đồ thị).

Giả sử b = -1, ta có y = -2sinx. Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow y =  - 2\sin \frac{\pi }{2} =  - 2\) (không thõa mãn đồ thị).

Do đó, hàm số y = asin(bx) đề bài cho là y = 2sinx.

Diện tích phần trồng hoa là:

\(\int\limits_{ - \pi }^\pi  {\left| {2\sin x} \right|dx}  = 2\int\limits_{ - \pi }^0 {( - \sin x)dx + 2} \int\limits_0^\pi  {\sin xdx}  = 8\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là \(AB.AD = 2\pi .4 = 8\pi \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích phần còn lại của mảnh vườn là:

\(S = 8\pi  - 8 \approx 17,1\) \(\left( {{m^2}} \right)\).