Đề bài

Hình bên cho biết một hình trụ bán kính đáy r (cm), chiều cao h (cm) nội tiếp hình nón có bán kính đáy 9 cm, chiều cao 18 cm. Tìm giá trị của r để thể tích của hình trụ là lớn nhất.

Phương pháp giải

Lập công thức thể tích khối trụ theo h hoặc r. Lập bảng biến thiên, tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Điều kiện: 0 < r < 9; 0 < h < 18 (cm).

Áp dụng hệ quả định lý Thales ta có:

\(\frac{r}{9} = \frac{{18 - h}}{{18}} \Leftrightarrow 2r = 18 - h \Leftrightarrow r = \frac{{18 - h}}{2}\).

Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\frac{{18 - h}}{2}} \right)^2}.h = \frac{{\pi {{(18 - h)}^2}.h}}{4}\)

\( = \frac{{\pi (324 - 36h + {h^2}).h}}{4} = \frac{\pi }{4}\left( {324h - 36{h^2} + {h^3}} \right)\).

Thể tích khối trụ lớn nhất khi và chỉ khi \(324h - 36{h^2} + {h^3} = f(h)\) lớn nhất.

Giải phương trình \(f'(h) = 3{h^2} - 72h + 324 = 0\) ta được h = 6 (thỏa mãn) hoặc = 18 (loại).

Bảng biến thiên:

Vậy \(324h - 36{h^2} + {h^3} = f(h)\) lớn nhất tại h = 6, đồng thời thể tích khối trụ lớn nhất.

Khi đó, \(r = \frac{{18 - h}}{2} = \frac{{18 - 6}}{2} = 6\) (cm).