Đề bài

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0;0;0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(-688;-185;8), chuyển động theo theo đường thẳng d có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {91;75;0} \right)\) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Hãy xác định tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Phương pháp giải

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \).

- Gọi B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa. B thuộc d nên tính tọa độ của B theo t.

- Để B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa thì OB = 417. Từ đó có phương trình theo ẩn t, giải phương trình tính t.

- Thay giá trị t tính được để tìm tọa độ B, so sánh giá trị và được ra kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(-688;-185;8) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {91;75;0} \right)\) làm vecto chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 688 + 91t\\y =  - 185 + 75t\\z = 8\end{array} \right.\).

Gọi B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Vì \(B \in d\) nên B(-688 + 91t; -185 + 75t; 8).

Vì \(B\) là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa nên

\(OB = 417 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 688 + 91t} \right)}^2} + {{\left( { - 185 + 75t} \right)}^2} + {8^2}}  = 417\)

\( \Leftrightarrow 13906{t^2} - 152966t + 333744 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3}\\{t = 8}\end{array}} \right.\)

Với t = 3 thì B(-415;408) suy ra \(AB \approx 353,77\) km.

Với t = 8 thì B(-88;415;8) suy ra \(AB \approx 848,53\) km.

Do 353,77 < 848,53 vị trí máy bay xuất hiện sớm nhất là B(-415;40;8).