Đề bài

Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2;3) là trực tâm của \(\Delta ABC\) với A, B, C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có dạng mx + ny + pz – 14 = 0 (\(m,n,p \in \mathbb{Z}\)). Khi đó m + n + p bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Lập phương trình mặt chắn (ABC), kết hợp với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\) để tìm tọa độ ba điểm A, B, C.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Giả sử: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).

Ta có \(\overrightarrow {AH} \left( {1 - a;2;3} \right)\), \(\overrightarrow {BH} \left( {1;2 - b;3} \right)\), \(\overrightarrow {BC} \left( {0;\, - b;\,c} \right)\), \(\overrightarrow {AC} \left( { - a;\,0;\,c} \right)\).

Do H là trực tâm \(\Delta ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b + 3c = 0\\ - a + 3c = 0\end{array} \right.\)

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) và do \(H \in \left( {ABC} \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\).

Do đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 3c = 0\\ - a + 3c = 0\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\c = \frac{{2b}}{3}\\\frac{1}{{2b}} + \frac{2}{b} + \frac{9}{{2b}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right.\)

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\).

Vậy m + n + p = 1 + 2 + 3 = 6.