Đề bài

Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ. Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trang trí, biết giá thành trang trí là 1200000 đồng/\({m^2}\)?

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ phù hợp. Từ các điểm thuộc đồ thị, tìm phương trình của parabol rồi áp dụng công thức tính diện tích bằng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Giả sử parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).

Vì parabol đi qua các điểm (0;5), (-2,5;0), (2,5;0) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 = a{.0^2} + b.0 + c\\0 = a.2,{5^2} + b.2,5 + c\\0 = a.{( - 2,5)^2} + b.( - 2,5) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{5}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{4}{5}{x^2} + 5\).

Diện tích lối vào giới hạn bởi cổng là: \({S_1} = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left( { - \frac{4}{5}{x^2} + 5} \right)dx}  = \frac{{50}}{3}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích toàn bộ hình chữ nhật là 5.6 = 30 \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích phần gạch chéo là: \({S_2} = S - {S_1} = 30 - \frac{{50}}{3} = \frac{{40}}{3}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền cần để trang trí là \(\frac{{40}}{3}.1200000 = 16000000\) đồng = 16 triệu đồng.