Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\).

 

Phương pháp giải

a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo \(a.c\).

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì \(a.c = 1.\left( { - 6} \right) =  - 6 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - ( - 4)}}{1} = 4\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 6}}{1} =  - 6\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\)

\( = \frac{{{x_1}{x_2}(4 - {x_2}) + {x_1}{x_2}(4 - {x_1})}}{{(4 - {x_1})(4 - {x_2})}}\)

\( = \frac{{4{x_1}{x_2} - {x_1}x_2^2 + 4{x_1}{x_2} - x_1^2{x_2}}}{{16 - 4{x_1} - 4{x_2} + {x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{8{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{16 - 4({x_1} + {x_2}) + {x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{{x_1}{x_2}\left[ {8 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]}}{{16 - 4({x_1} + {x_2}) + {x_1}{x_2}}}\)

\( = \frac{{ - 6.\left( {8 - 4} \right)}}{{16 - 4.4 - 6}}\)

\( = \frac{{ - 24}}{{ - 6}}\)

\( = 4\).

Vậy \(A = 4\).