Đề bài

Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính 1 m và các tấm kính hình vuông có cạnh 1 m như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng/\({m^2}\). Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ tìm parabol và diện tích.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Từ đường tròn đường kính 1 và hình vuông cạnh 1 suy ra OP = 4, MN = 4.

Do đó, ta có tọa độ các điểm: P(0;4), M(-2;2), N(2;2).

Giả sử phương trình của parabol là \(y = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).

Vì parabol đi qua P, M, N nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\\2 = a{.2^2} + b.2 + c\\2 = a{( - 2)^2} + b( - 2) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{1}{2}{x^2} + 4\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành:

\( - \frac{1}{2}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\sqrt 2 {\rm{\;}}\).

\( \Rightarrow A\left( { - 2\sqrt 2 ,0} \right)\), \(B\left( {2\sqrt 2 ,0} \right)\).

Diện tích phần kính (gồm 3 hình tròn bán kính 0,5 m và 6 hình vuông cạnh 1 m) là:

\({S_1} = \pi .0,{5^2}.3 + 6.1.1 = 0,75\pi {\rm{\;}} + 6\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích giới hạn bởi parabol và trục Ox là \(S = \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 4} \right)dx} \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích sơn màu là \(S - {S_1}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Vậy chi phí sơn màu là \(1,2.\left( {S - {S_1}} \right) \approx 8,1\) triệu đồng.