Đề bài

Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đơn vị đo lấy theo kilômét, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ A(0;35;10), bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow {{v_1}}= \left( {3;4;0} \right)\) với tốc độ không đổi 900(km/h) và máy bay thứ hai ở tọa độ B(31; 10; 11), bay theo hướng \(\overrightarrow {{v_2}} = \left( {5;12;0} \right)\) với tốc độ không đổi 910 (km/h). Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 9,3 km). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải

Tìm tọa độ hai máy bay sau t giờ sau đó lập phương trình khoảng cách tối thiểu.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đặt \(A'\left( {3a;4a + 35;10} \right)\) là điểm di chuyển của máy bay thứ nhất.

Gọi t (giờ) là thời điểm mà hai máy bay bay sau t giờ vi phạm khoảng cách an toàn.

Ta có khoảng cách so với điểm ban đầu là:

\(A'A = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 900t\)

\(\Leftrightarrow a = 180t\).

\( \Rightarrow A'\left( {540t;35 + 720t;10} \right)\).

Tương tự ta đặt điểm \(B'\left( {5b + 31;12b + 10;11} \right)\) là điểm di chuyển của máy bay thứ hai.

Khi đó \(\sqrt {{{\left( {5b} \right)}^2} + {{\left( {12b} \right)}^2}}  = 910t \Rightarrow b = 70t\) suy ra \(B\left( {31 + 350t;10 + 840t;11} \right)\).

Vì khoảng cách tối thiếu để hai máy bay an toàn là 9,3 km và hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn nên:

\(A'B' \le 9,3\)

\(\Leftrightarrow {\left( {31 - 190t} \right)^2} + {\left( { - 25 + 120t} \right)^2} + {\left( 1 \right)^2} \le 9,{3^2}\)

\( \Leftrightarrow 0,1403 \le t \le 0,21177\) (giờ).

Vậy sau ít nhất 0,1403 giờ hay 8,42 phút thì vi phạm khoảng cách an toàn.