Một đại lý nhập khẩu trái cây tươi để phân phối cho các cửa hàng. Mỗi lần nhập khẩu trái cây, khoán chi phí vận chuyển (không đổi) là 25 triệu đồng. Chi phí bảo quản mỗi tạ trái cây dự trữ trong kho là 80 nghìn đồng/ngày. Thời gian bảo quản trái cây trong kho tối đa 10 ngày. Biết rằng, kể từ ngày đầu tiên nhập hàng, đại lý sẽ phân phối tới các cửa hàng 25 tạ trái cây mỗi ngày. Mỗi lần nhập hàng, đại lý phải nhập đủ trái cây cho bao nhiêu ngày phân phối để chi phí trung bình cho mỗi ngày thấp nhất (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí bảo quản trong kho)?
Lập hàm chi phí trung bình tìm GTNN.
Đổi: 80 000 đồng = 0,08 triệu đồng.
Giả sử cần nhập trái cây đủ n ngày để chi phí trung bình cho mỗi ngày thấp nhất \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 10} \right)\).
Mỗi ngày phải phân phối đi 25 tạ trái cây nên tổng số trái cây trong một lần nhập là 25n (tạ).
Chi phí bảo quản ngày đầu là: 25n.0,08 (triệu đồng).
Chi phí bảo quản ngày thứ hai là: 25(n – 1).0,08 (triệu đồng).
Chi phí bảo quản ngày thứ ba là: 25(n – 2).0,08 (triệu đồng).
…
Chi phí bảo quản ngày cuối cùng là: 25.0,08 (triệu đồng) (vì chỉ còn 25 tạ cho ngày cuối cùng).
Tổng chi phí bảo quản là:
\(P = 25n.0,08 + 25(n - 1).0,08 + 25(n - 2).0,08 + ... + 25.0,08\)
\( = 25.0,08.\left[ {n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1} \right]\)
\( = 2.\left[ {n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1} \right]\).
Ta có thể viết \(n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1\) thành tổng \(1 + 2 + 3 + ... + n\).
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, ta được:
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\).
Do đó \(P = 2.\frac{{n(n + 1)}}{2} = n(n + 1)\).
Tổng chi phí (gồm phí vận chuyển và bảo quản) là \(25 + n(n + 1)\) (triệu đồng).
Chi phí trung bình là \(Q(n) = \frac{{25 + n(n + 1)}}{n} = \frac{{25}}{n} + n + 1\).
Ta có \(Q'(n) = - \frac{{25}}{{{n^2}}} + 1 = 0 \Leftrightarrow n = 5\).
Bảng biến thiên:
Vậy, để chi phí trung bình nhỏ nhất thì đại lý cần nhập đủ trái cây cho 5 ngày.
Danh sách bình luận