Đề bài

Cho tam giác MNP vuông tại M. Lấy I là trung điểm của MP.

a) Chứng minh: NM < NI < NP.

b) Trên tia đối của tia IN lấy điểm K sao cho IK = IN. Chứng minh MN = PK từ đó suy ra PK < NP.

c) So sánh \(\widehat {MNI}\) và \(\widehat {INP}\).

d) Từ I kẻ IH\( \bot \)NP. So sánh IM và IH.

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất của trung điểm và quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để chứng minh.

b) Chứng minh \(\Delta IMN = \Delta IPK\) suy ra MN = PK.

Trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất nên MN < NP. Kết hợp suy ra PK < NP.

c) Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để so sánh.

d) Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên và tính chất của trung điểm để so sánh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì I là trung điểm của MP nên MI < MP.

Mà \(NM \bot MP\) (\(\Delta MNP\) vuông tại M)

suy ra \(NM < NI < NP\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

b) Xét \(\Delta IMN\) và \(\Delta IPK\) có:

\(IM = IP\) (I là trung điểm của MP)

\(\widehat {MIN} = \widehat {PIK}\)

\(IN = IK\) (gt)

Suy ra \(\Delta IMN = \Delta IPK\) (c.g.c)

Do đó MN = PK.

Tam giác MNP vuông tại M nên MN < NP, suy ra PK < NP.

c) Vì \(\Delta IMN = \Delta IPK\) nên \(\widehat {INM} = \widehat {IKP}\).

Vì \(KP < NP\) nên \(\widehat {PNK} < \widehat {PKN}\) (góc đối diện với cạnh), suy ra \(\widehat {INP} < \widehat {INM}\).

d) Vì \(IH \bot NP\) nên \(IH < IP\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mà IM = IP nên \(IH < IM\).