Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 6. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SB và điểm N thuộc đoạn thẳng SC sao cho NS = 2NC. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (SCD) theo phương chiếu BD biến điểm M thành điểm P. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu SA biến tam giác MNP thành hình T. Khi đó diện tích hình T bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường trung bình kẻ các đường thẳng song song tìm M, N, P. Từ đó tính diện tích tam giác.

Xét trong (SBD) kẻ \(MP\parallel BD\) với \(P \in SD\).

Khi đó P là hình chiếu của M xuống (SBD) với phương chiếu BD.

Do M là trung điểm của SB nên MP là đường trung bình của \(\Delta SBD\).

Suy ra P là trung điểm của SD.

Tương tự xét trong (SAB) kẻ \(ME\parallel SA \Rightarrow E\) là trung điểm AB.

Trong (SAD) kẻ \(PF\parallel SA \Rightarrow F\) là trung điểm AD.

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(NG\parallel SA \Rightarrow \frac{{GC}}{{CA}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}\) (Thales).

Khi đó hình chiếu của M, N, P xuống (ABCD) theo phương chiếu SA lần lượt là E, G, F.

Ta sẽ tính diện tích \(\Delta GEF\).

Ta có \(\Delta GEF\) cân tại G nên \({S_{\Delta GEF}} = \frac{1}{2}GK.EF\).

\(AF = AE = \frac{1}{2}AB = 3 \Rightarrow EF = 3\sqrt 2 ;AK = \frac{1}{2}EF = \frac{3}{2}\sqrt 2 \).

\(AC = 6\sqrt 2 ;AG = \frac{2}{3}.6\sqrt 2 {\rm{ \;}} = 4\sqrt 2 {\rm{ \;}} \Rightarrow GK = 4\sqrt 2 {\rm{ \;}} - \frac{3}{2}\sqrt 2 {\rm{ \;}} = \frac{5}{2}\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta GEF}} = \frac{1}{2}GK.EF = \frac{1}{2}.\frac{5}{2}\sqrt 2 .3\sqrt 2 {\rm{ \;}} = \frac{{15}}{2} = 7,5\).