Đề bài

Một khu phố có kế hoạch tu sửa một sân chơi hình tròn, bán kính 10m. Theo bản thiết kế dự kiến thì công (như hình vẽ), người ta lát gạch trang trí ở phần kẻ sọc (với \({0^o } < \alpha < {45^o }\)) và phần còn lại đổ xi măng. Chi phí lát gạch là 1 triệu đồng/\({m^2}\) và chi phí đổ xi măng là 300 nghìn đồng/\({m^2}\) (giả sử phần chi phí khác không đáng kể). Hỏi góc \(\alpha \) lớn nhất là bao nhiêu độ để chi phí tu sửa không lớn hơn 150 triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tính diện tích của phần làm gạch và phần còn lại theo \(\alpha \). Từ đó lập hàm chi phí và tìm GTNN.

Xét 1 phần gạch hình tam giác là \(\Delta OAB\) vuông tại A, có \(OB = 10\), \(\widehat {AOB} = \alpha \).

\(\Rightarrow OA = 10.\cos \alpha \); \(AB = 10.\sin \alpha \)

\({ \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.10.\sin \alpha .10.\cos \alpha = 25\sin 2\alpha }\).

Khi đó diện tích phần gạch lát là \(S = 4.25\sin 2\alpha  = 100\sin 2\alpha \).

Diện tích của cả hình tròn là \(S = \pi {.10^2} = 100\pi \).

Diện tích phần lát xi măng là \(S = 100\pi  - 100.\sin 2\alpha \).

Vậy chi phí cần bỏ ra là:

\(T = 100.\sin 2\alpha .1 + \left( {100 - 100\sin 2\alpha } \right).0,3 = 70\sin 2\alpha  + 30\pi \).

Do chi phí nhỏ hơn 150 triệu nên ta có

\(70\sin 2\alpha  + 30\pi < 150\)

\({ \Leftrightarrow \sin 2\alpha  < 0,79}\)

\({ \Leftrightarrow 2\alpha  < 52,{{79}^o}}\)

\({ \Leftrightarrow \alpha  < 26,{{39}^o}}\).

Vậy góc \(\alpha \) nhỏ nhất bằng \({26^o}\).