Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD // BC, AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, điểm M là trung điểm của đoạn thẳng SC.
a) Đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (SAC).
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
c) Giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là giao điểm của AM và SO.
d) Gọi \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng AM và song song với đường thẳng BD. Mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) cắt SB tại P. Khi đó \(\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}\).
a) Đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (SAC).
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
c) Giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là giao điểm của AM và SO.
d) Gọi \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng AM và song song với đường thẳng BD. Mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) cắt SB tại P. Khi đó \(\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}\).
Vẽ hình.
Xét điểm A, M có thuộc mặt phẳng (SAC) không.
Xét hai điểm S, O cùng thuộc mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) không
Gọi giao điểm của AM và SO là I, chứng minh \(I \in (SBD)\).
Sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử \(\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}\) rồi chứng minh điều đó vô lí.
a) Đúng. Vì \(M \in SC\) nên \(M \in (SAC)\), lại có \(A \in (SAC)\) nên AM nằm trong mặt phẳng (SAC).
b) Đúng. Ta có \(O \in AC\) nên \(O \in (SAC)\); \(O \in BD\) nên \(O \in (SBD)\). Do đó O thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Mà S cũng thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
c) Đúng. Theo chứng minh ở các phần trên, SO và MA cùng thuộc mặt phẳng (SAC), hai đường thẳng đó không song song với nhau nên gọi giao điểm của chúng là I.
Khi đó, \(I \in AM\) (1).
Vì \(I \in SO\), mà \(SO \subset (SBD)\) nên \(I \in (SBD)\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra I là giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD), đồng thời là giao điểm của SO và MA.
d) Sai. Vì AD // BC nên theo hệ quả của định lý Thales, ta có:
\(\frac{{CO}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}\) (vì AD = 2BC theo giả thiết).
Suy ra \(\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3}\), tức O không phải trung điểm của AC.
Gọi giao điểm của \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) và SD là Q. Khi đó, PQ là giao tuyến của \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) và (SBD).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\alpha )//BD}\\\begin{array}{l}BD \subset (SBD)\\(SBD) \cap (\alpha ) = PQ\end{array}\end{array}} \right.\) suy ra BD // PQ (3).
Vì \(I \in AM\) và \(AM \subset \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) nên \(I \in \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\), mà \(I \in (SBD)\) nên I thuộc giao tuyến của \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) và (SBD), hay \(I \in PQ\) (4).
Từ (3) và (4) suy ra PI // BO.
Giả sử \(\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}\).
Vì PI // BO nên theo định lí Thales ta có: \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}\).
Vì M là trung điểm của SC suy ra AM là đường trung tuyến của \(\Delta SAC\).
Mặt khác, \(I \in AM\) và \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\) nên I là trọng tâm \(\Delta SAC\).
Do đó, SO là đường trung tuyến của \(\Delta SAC\), hay O là trung điểm của AC (vô lí).
Vậy \(\frac{{SP}}{{SB}} \ne \frac{2}{3}\).
Danh sách bình luận