Giả sử số lượng của một quần thể vi sinh vật tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm (phụ thuộc vào thời gian nuôi cấy) được mô hình hóa bằng hàm số \(P(t) = \frac{{25}}{{a + {e^{ - 0.8t}}}}\;\) trong đó thời gian t được tính bằng giờ, a là hệ số điều chỉnh mật độ vi sinh vật ban đầu. Biết rằng, tại thời điểm ban đầu \(t = 0\) quần thể có 20 vi sinh vật.
a) Giá trị của \(a\) bằng 0,25.
b) Sau 2 giờ, quần thể có nhiều hơn 60 vi sinh vật.
c) Với quy trình nuôi cấy theo mô hình trên thì số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100.
d) Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 6 giờ.
a) Giá trị của \(a\) bằng 0,25.
b) Sau 2 giờ, quần thể có nhiều hơn 60 vi sinh vật.
c) Với quy trình nuôi cấy theo mô hình trên thì số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100.
d) Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 6 giờ.
Có P(0) = 20, tính \(a\). Thay giá trị \(t\) để tính \(P(t).\)
Tính giới hạn tại vô cùng của hàm \(P(t).\)
Giải bất phương trình \(P(t) > 90.\)
a) Đúng. Ta có \(P(t) = \frac{{25}}{{a + {e^{ - 0.8t}}}}\), và \(P(0) = 20\) nên \(\frac{{25}}{{a + {e^{ - 0,8.0}}}} = 20 \Leftrightarrow a = \frac{{25}}{{20}} - 1 = 0,25\)
b) Sai. Sau 2 giờ, số vi sinh vật là \(P(2) = \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0,8.2}}}} \approx 55,3\)
c) Đúng. Ta cần tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0,8.t}}}}\).
Khi \(t \to {\rm{\;}} + \infty \) thì \({e^{ - 0,8t}} \to 0\), nên \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0,8.t}}}} = \frac{{25}}{{0,25}} = 100\)
Vậy số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100.
d) Sai. Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{P(t) = \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0.8t}}}} > 90 \Leftrightarrow {e^{ - 0,8.t}} < \frac{{25}}{{90}} - 0,25}\\{ \Leftrightarrow {e^{ - 0,8.t}} < \frac{1}{{36}} \Leftrightarrow t > 4,48}\end{array}\)
Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 4,48 giờ.
Danh sách bình luận