Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}}\\1\end{array}} \right.\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{khi}\\{khi}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 2}\\{x = 2}\end{array}\).
a) Giá trị của \(f(2)\) bằng 1.
b) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\) bằng -1.
c) Hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).
d) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {xf(x) + 1} }}{{x + 1}}\) bằng 1.
a) Giá trị của \(f(2)\) bằng 1.
b) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\) bằng -1.
c) Hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).
d) Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {xf(x) + 1} }}{{x + 1}}\) bằng 1.
Tính biểu thức \(f(x)\) tại \(x = 2\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\), xét tính liên tục của hàm số.
a) Đúng. Khi \(x = 2\) thì \(f(x) = 1\). Do đó \(f(2) = 1\).
b) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x - 1)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1\).
c) Đúng. Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 1}\\{f(2) = 1}\end{array}} \right.\) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 1\).
Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
d) Sai. Khi \(x \ne 2\) thì \(f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = x - 1\) nên ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {xf(x) + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {x(x - 1) + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}} = {\rm{\;}} - 1\).
Danh sách bình luận