Đề bài

Cho phương trình ${x^2} + 5x - 8 = 0$

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính giá trị biểu thức $A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}$.

 

Phương pháp giải

a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo $a.c$.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.

Định lí Viète: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình ${x^2} + 5x - 8 = 0$ có:

$a.c = 1.\left( { - 8} \right) =  - 8 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

b) Áp dụng định lí Viète, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 5}}{1} =  - 5}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 8}}{1} =  - 8}\end{array}} \right.$

Ta có: $A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{x_1^2 - 2{x_1} + x_2^2 - 2{x_2}}}{{\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}\\ = \frac{{{{\left( { - 5} \right)}^2} - 2.\left( { - 8} \right) - 2.\left( { - 5} \right)}}{{\left( { - 8} \right) - 2.\left( { - 5} \right) + 4}}\\ = \frac{{25 + 16 + 10}}{{ - 8 + 10 + 4}}\\ = \frac{{17}}{2}\end{array}$

Vậy $A = \frac{{17}}{2}$.