Đề bài

Một nhà kho được mô hình hóa trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz và hai mái EFIK, HGIK có kích thước bằng nhau như hình vẽ.

Biết rằng chiều cao của nhà kho là 9 m và các bức tường của nhà kho tạo thành hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 10 m, AD = 24 m, AE = 7 m. Mặt phẳng (EFIK) có phương trình ax + y + bz + c = 0. Tìm giá trị của a – bc.

Phương pháp giải

Tìm tọa độ các điểm E, F, K.

Áp dụng công thức tính tích có hướng để tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (EFIK).

Viết phương trình mặt phẳng (EFIK) dựa vào vecto pháp tuyến vừa tìm và một điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz, ta có tọa độ các điểm như sau:

F(10;0;7), E(0;0;7), K(0;12;9).

\(\overrightarrow {EF}  = (10 - 0;0 - 0;7 - 7) = (10;0;0)\), \(\overrightarrow {EK}  = (0 - 0;12 - 0;9 - 7) = (0;12;2)\).

\(\left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EK} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\{12}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{10}\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&0\\0&{12}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 20;120)\).

Ta có \(\overrightarrow n  = \frac{1}{{20}}\left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EK} } \right] = (0; - 1;6)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (EFIK).

Mặt phẳng (EFIK) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (0; - 1;6)\) và đi qua điểm E(0;0;7) có phương trình là:

\(0(x - 0) - 1(y - 0) + 6(z - 7) = 0 \Leftrightarrow  - y + 6z - 42 = 0 \Leftrightarrow y - 6z + 42 = 0\).

Suy ra a = 0, b = -6, c = 42.

Vậy a – bc = 0 – (-6).42 = 252.