Một phân xưởng sản xuất thảm theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng kế hoạch đề ra. Những ngày còn lại, họ vượt mức mỗi ngày 10 tấm thảm nên đã hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu tấm thảm?
Gọi số tấm vải mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là \(x\) (tấm), \(x \in {\mathbb{N}^*}\).
Biểu diễn thời gian phân xưởng dự định sản xuất, năng suất sau khi vượt kế hoạch, thời gian thực tế phân xưởng làm.
Vì xưởng hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày nên ta lập được phương trình.
Giải phương trình và kiểm tra lại điều kiện.
Gọi số tấm vải mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là \(x\) (tấm), \(x \in {\mathbb{N}^*}\).
Thời gian phân xưởng dự định sản xuất thảm là: \(\frac{{3000}}{x}\) (ngày)
Năng suất sau khi vượt kế hoạch là: \(x + 10\) (tấm)
Số tấm thảm còn phải làm sau 8 ngày là: \(3000 - 8x\) (tấm)
Thời gian xưởng làm với năng suất \(x + 10\) là: \(\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\) (ngày)
Do đó thời gian thực tế phân xưởng làm là: \(8 + \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\) (ngày)
Vì xưởng hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày nên ta có phương trình:
\(\frac{{3000}}{x} - \left( {8 + \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}} \right) = 2\)
\(\begin{array}{l}\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} = 10\\3000\left( {x + 10} \right) - x\left( {3000 - 8x} \right) = 10x\left( {x + 10} \right)\\3000x + 30000 - 3000x + 8{x^2} = 10{x^2} + 100x\\2{x^2} + 100x - 30000 = 0\\{x^2} + 50x - 15000 = 0\end{array}\)
Ta có: \(\Delta ' = {25^2} - \left( { - 15000} \right) = 15625 > 0\)
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 25 - \sqrt {15625} = - 150\left( L \right),{x_2} - 25 + \sqrt {15625} = 100\left( N \right)\)
Vậy số tấm vải mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là 100 tấm.
Bài toán này thuộc dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình. Cụ thể hơn, nó liên quan đến các bài toán về năng suất, công việc và thời gian. Lý thuyết cơ bản liên quan bao gồm mối quan hệ giữa tổng công việc, năng suất (số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian) và thời gian hoàn thành:
Công việc = Năng suất $\times$ Thời gian
Suy ra: Thời gian = $\frac{\text{Công việc}}{\text{Năng suất}}$; Năng suất = $\frac{\text{Công việc}}{\text{Thời gian}}$
Việc giải phương trình thu được trong bài toán này yêu cầu kiến thức về phương trình bậc hai. Một phương trình bậc hai có dạng tổng quát là $ax^2 + bx + c = 0$ (với $a \neq 0$). Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm, thường liên quan đến biệt thức $\Delta$ hoặc $\Delta'$.
Trong bài toán này:
Tổng công việc theo kế hoạch là 3000 tấm thảm.
Ta cần tìm năng suất theo kế hoạch mỗi ngày.
Thời gian dự định hoàn thành theo kế hoạch sẽ là $\frac{\text{Tổng công việc}}{\text{Năng suất kế hoạch}} = \frac{3000}{x}$ (ngày).
Phân xưởng làm việc theo đúng kế hoạch trong 8 ngày đầu. Lượng công việc hoàn thành trong 8 ngày này là $8x$ (tấm).
Lượng công việc còn lại sau 8 ngày là $3000 - 8x$ (tấm).
Ở những ngày còn lại, phân xưởng vượt mức mỗi ngày 10 tấm thảm. Điều này có nghĩa là năng suất thực tế trong những ngày này là $x + 10$ (tấm/ngày).
Thời gian thực tế để hoàn thành số thảm còn lại là $\frac{\text{Công việc còn lại}}{\text{Năng suất thực tế}} = \frac{3000 - 8x}{x + 10}$ (ngày).
Tổng thời gian thực tế phân xưởng làm việc là thời gian 8 ngày đầu cộng với thời gian làm việc vượt mức: $8 + \frac{3000 - 8x}{x + 10}$ (ngày).
Phân xưởng hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày. Điều này có nghĩa là:
Thời gian dự định - Tổng thời gian thực tế = 2 ngày.
Từ đó, ta lập được phương trình: $\frac{3000}{x} - \left(8 + \frac{3000 - 8x}{x + 10}\right) = 2$.
Phương trình này được biến đổi và rút gọn thành phương trình bậc hai: $x^2 + 50x - 15000 = 0$.
Việc giải phương trình bậc hai này sử dụng công thức nghiệm (với $\Delta'$) để tìm giá trị của $x$.
Các nghiệm của phương trình bậc hai cần được kiểm tra lại điều kiện của ẩn ($x \in \mathbb{N}^*$) để chọn nghiệm phù hợp với bài toán thực tế.
Phương pháp giải chung cho dạng bài:
- Bước 1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số: Xác định đại lượng chưa biết cần tìm (thường là năng suất hoặc thời gian) và gọi nó là ẩn ($x$). Nêu rõ đơn vị và điều kiện ràng buộc của ẩn (ví dụ: $x$ phải là số dương, số nguyên, v.v.).
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết: Dựa vào các mối quan hệ trong bài toán (Công việc = Năng suất $\times$ Thời gian), biểu diễn các đại lượng khác (thời gian dự định, thời gian thực tế, công việc còn lại, năng suất thực tế, v.v.) qua ẩn $x$ và các số liệu đã cho trong đề bài.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng: Tìm một mối liên hệ (bằng nhau, chênh lệch thời gian, tổng công việc, v.v.) giữa các đại lượng đã biểu diễn và viết thành một phương trình có chứa ẩn $x$. Phương trình này thường là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
- Bước 2: Giải phương trình
Giải phương trình đã lập ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn $x$. Nếu là phương trình bậc hai, cần áp dụng công thức nghiệm hoặc các phương pháp giải khác.
- Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm có thoả mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận
Kiểm tra xem các nghiệm tìm được ở Bước 2 có thỏa mãn điều kiện đã đặt ra cho ẩn ở Bước 1 hay không (ví dụ: có phải là số dương, số nguyên không).
So sánh nghiệm thỏa mãn điều kiện với ngữ cảnh thực tế của bài toán để loại bỏ những nghiệm không phù hợp (ví dụ: năng suất không thể âm).
Nghiệm thỏa mãn tất cả các điều kiện chính là đáp án của bài toán.
Danh sách bình luận