Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.

a) Chứng minh rằng CBD là tam giác cân.

b) Gọi M là trung điểm của CD, đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng BM tại E. Chứng minh rằng BC = DE và BC + BD > BE

c) Gọi G là giao điểm của AE và DM. Chứng minh rằng BC = 6GM

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABC = \Delta ADC\) (c.g.c)

suy ra BC = DC, nên \(\Delta CBD\) cân tại C.

b) * Chứng minh \(\Delta BCM = \Delta EDM\) (g.c.g) suy ra BC = DE.

* Dùng bất đẳng thức tam giác để chứng minh.

c) Chứng minh G là trọng tâm của \(\Delta BDE\).

Suy ra \(GM = \frac{1}{3}DM\) (do BC = DC)

Biến đổi để có BC = 6GM.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) có:

\(AB = AD\) (gt)

\(\widehat {BAC} = \widehat {DAC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AC là cạnh chung

nên \(\Delta ABC = \Delta ADC\) (c.g.c)

Do đó BC = DC, nên \(\Delta CBD\) cân tại C.

b) * Xét \(\Delta BCM\) và \(\Delta EDM\) có:

\(\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\) (2 góc so le trong)

CM = DM (M là trung điểm của CD)

\(\widehat {BMC} = \widehat {EMD}\) (2 góc đối đỉnh)

nên \(\Delta BCM = \Delta EDM\) (g.c.g)

suy ra BC = DE.

* Ta có:

BD + BC = BD + DE > BE (bất đẳng thức tam giác)

c) Xét tam giác BDE có:

DM là đường trung tuyến (\(\Delta BCM = \Delta EDM\) nên BM = ME)

EA là đường trung tuyến (\(\Delta ABC = \Delta ADC\) nên AB = AD)

Mà DM và EA cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của \(\Delta BDE\).

Suy ra \(GM = \frac{1}{3}DM \)

\(= \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}DC} \right) \) (do M là trung điểm của CD)

\(= \frac{1}{6}DC = \frac{1}{6}BC\) (do BC = DC)

Suy ra BC = 6GM.