Cho hình thang ABCD (AB // CD) có E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AD và BC. Gọi K là giao điểm của AF và DC. Chứng minh:
a) ΔFBA=ΔFCK.
b) EF=AB+CD2.
a) Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song suy ra ^ABF=^KCF.
Chứng minh ΔFBA=ΔFCK (g.c.g)
b) Từ ΔFBA=ΔFCK để chứng minh AB = CK, AF = FK .
Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ADK.
Kết hợp với AB = CK để được điều phải chứng minh.
a) Vì AB // CD nên ^ABF=^KCF (hai góc so le trong)
Xét ΔFBA và ΔFCK có:
^ABF=^KCF (cmt)
BF=FC (F là trung điểm của BC)
^F1=^F2
Suy ra ΔFBA=ΔFCK (g.c.g)
b) Vì ΔFBA=ΔFCK nên AB = CK, AF = FK (hai cặp cạnh tương ứng)
suy ra F là trung điểm của AK.
Xét tam giác ADK có E, F là trung điểm của AD, AK nên EF là đường trung bình của tam giác ADK, suy ra EF=DK2
Mà DK = DC + CK = DC + AB (do AB = CK)
Do đó EF=DC+AB2.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?
Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.
Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.
b) So sánh EF và 12(AB+CD)
Tính độ dài đoạn PQ (Hình 10).
Cho biết cạnh mỗi ô vuông bằng 1cm. Tính độ dài các đoạn PQ,PR,RQ,AB,BC,CA trong Hình 11.
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB;AC;BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.
Một mái nhà được vẽ như Hình 13. Tính độ dài x trong hình mái nhà.
Ảnh chụp từ Google Maps của một trường học được cho trong Hình 14. Hãy tính chiều dài cạnh DE, cho biết BC=232m và B,C lần lượt là trung điểm của AD và AE.
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP=PN=NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:
a) MN//CP
b) AQ=QM
c) CP=4PQ
Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Cho AC=BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
c) Cho AC⊥BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD,CE. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD. Gọi I,K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE Chứng minh rằng:
a) ED∥BC
b) MN∥BC
c) MI=IK=KN.
Cho ΔABC, trung tuyến AM, đường phân giác của ^AMB cắt AB ở D đường phân giác của ^AMC cắt AC ở E.
a) Chứng minh rằng AD.AC=AE.AB và DE∥BC.
b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng I là trung điểm của DE.
c) Tính DE, biết BC=30cm và AM=10cm.
d) Tam giác ABC phải thêm điều kiện gì để DE là đường trung bình của tam giác đó?
Giữa hai điểm A, B là một hồ nước sâu. Biết A, B lần lượt là trung điểm của MC, MD (xem hình vẽ).
Bạn Mai đi từ C đến D với vận tốc 9,6km/h hết 1 phút 30 giây. Hỏi hai điểm A và B cách nhau bao nhiêu mét?
Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Gọi E là trung điểm của BC và I là giao điểm của AE với MN. Chứng minh I là trung điểm của MN.
Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM (M∈BC). Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh:
a) EF=FB;
b) AE=13AB;
c) CE=4EI.
Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (M∈AC,N∈AB). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh:
a) MN//DE
b) ND//ME
Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM//QO(M∈OP), IN//PO (N∈QO). Chứng minh:
a) Tam giác IMN cân tại I.
b) OI là đường trung trực của MN.
Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Vẽ MP//BD (P∈AC) và NQ//BD(Q∈AC). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. AQ=QP=PC.
B. O là trung điểm PQ.
C. MNPQ là hình bình hành.
D. MNPQ là hình chữ nhật.
Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một phần ba cạnh đó.
b) Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
c) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.
d) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.
Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kể tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
Để làm cây thông noel, người ta hàn một khung sắt có dạng hình tam giác cân ABC
(AB=AC=2 m) cùng các thanh sắt nằm ngang GF,HE<ID,BC và sau đó gắn cây thông như Hình 22. Tính số tiền sắt cần sử dụng để làm cây thông noel đó.
Biết giá một mét sắt là 55 000 đồng và AG=GH=HI=IB,CD=DE=EF=FA, thanh GF dài 0,2 m.
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ CH vuông góc với BD(H∈BD). Gọi I,K,M lần lượt là trung điểm của BH,CH,AD. Chứng minh:
a) Tứ giác IKDM là hình bình hành;
b) Gọi N là giao điểm của IM và AH. Hỏi IN có thể là đường trung bình của tam giác HAB không? Vì sao?
Cho tứ giác ABCD có AD=BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N lần lượt của các cạnh AB và CD cắt các đường thẳng AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh: ^AEM=^MFB.
Cho tứ giác ABCD có M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC. Chứng minh: MN≤AB+DC2. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
