Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Các tia phân giác của góc AMB, AMC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Cho BC = 12cm, AM = 8cm, AB = 7cm. Gọi I là giao điểm của DE và AM.
a) \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).
b) \(DE//BC\)
c) \(DE = \frac{{36}}{7}\).
d) \(DI = IE\)
a) \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).
b) \(DE//BC\)
c) \(DE = \frac{{36}}{7}\).
d) \(DI = IE\)
a) Vì AM là đường trung tuyến M là trung điểm của BC. Ta tính được BM, CM theo BC.
Áp dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác để tính \(\frac{{AD}}{{DB}}\)
b) Áp dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác để tính được tỉ số \(\frac{{AE}}{{EC}}\).
Kết hợp với tỉ số \(\frac{{AD}}{{DB}}\) và định lí Thalès đảo để kiểm tra DE // BC.
c) Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tính AD.
Áp dụng hệ quả của định lí Thalès ta tính được DE.
d) Sử dụng hệ quả của định lí Thalès với DI // BM, IE // MC để kiểm tra DI = IE.
a) Sai
Vì AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC, suy ra \(BM = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.12 = 6\left( {cm} \right)\). (1)
Vì MD là đường phân giác của tam giác ABM nên \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\). (2)
b) Đúng
Vì ME là đường phân giác của tam giác ACM nên \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AM}}{{MC}}\). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\) nên DE // BC (Định lí Thalès đảo)
c) Sai
Vì \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{4}{3}\) nên \(\frac{{AD}}{4} = \frac{{DB}}{3} = \frac{{AD + DB}}{{4 + 3}} = \frac{{AB}}{7} = \frac{7}{7} = 1\) (tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Suy ra \(AD = 4cm,DB = 3cm\)
Áp dụng hệ quả của định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)
Suy ra \(DE = \frac{{AD}}{{AB}}.BC = \frac{4}{7}.12 = \frac{{48}}{7}\)
d) Đúng
Vì DI // BM nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{DI}}{{BM}}\) (hệ quả của định lí Thalès)
Vì IE // CM nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{IE}}{{MC}}\) (hệ quả của định lí Thalès)
Do đó \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}\). Mà \(BM = MC\) nên \(DI = IE\).
Đáp án: SĐSĐ
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh \(MI = IK = KN\).
Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Đường phân giác góc A cắt BD tại M, đường phân giác góc D cắt AC tại N. Chứng minh MN//AD.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:
a) \(MP\parallel AD,\,\,MP = \frac{1}{4}AD\)
b) \(AQ = \frac{2}{5}AN\)
c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và \(PR = \frac{3}{4}AD\).
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia MI lấy điểm N sao cho I là trung điểm của MN.
a) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
b) Gọi E là trung điểm của AM. Chứng minh E là trung điểm của BN.
c) Gọi K là trung điểm của AB. Tìm điều kiện để AKMI là hình vuông.
a) Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết DB = 3 cm. Tính DC.
b) Độ cao AN và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng AN, BN trên mặt đất được ghi lại như trong hình vẽ bên. Tìm chiều cao AB của cây.
