Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\)có đồ thị như hình vẽ.
Biết ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho hai điểm B, C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho. Hai điểm A, D nằm trên trục hoành (điểm A thuộc tia Ox).
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\) có đạo hàm là \(y' = f'\left( x \right) = x{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\).
c) Khi điểm B có toạ độ \(\left( {x;{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}} \right)\) với \(x > 0\) thì diện tích ABCD là \(S\left( x \right) = x{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\).
d) Diện tích hình chữ nhật ABCD đạt giá trị lớn nhất khi AD = 2.
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\) có đạo hàm là \(y' = f'\left( x \right) = x{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\).
c) Khi điểm B có toạ độ \(\left( {x;{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}} \right)\) với \(x > 0\) thì diện tích ABCD là \(S\left( x \right) = x{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\).
d) Diện tích hình chữ nhật ABCD đạt giá trị lớn nhất khi AD = 2.
Tìm tập xác định, tính đạo hàm rồi lập bảng biến thiên, tìm giá trị lớn nhất.
a) Đúng. Hàm số mũ \(y = f\left( x \right) = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Sai. Hàm số \(y = f\left( x \right) = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\) có đạo hàm là \(y'\, = {\left( { - \frac{1}{2}{x^2}} \right)^\prime }{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}} = - x{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\).
c) Sai. Khi điểm B có toạ độ \(\left( {x;{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}} \right)\) với x > 0 thì cạnh AD = 2x, cạnh \(AB = {e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\).
Diện tích hình chữ nhật ABCD được tính theo công thức \(S\left( x \right) = 2x{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\).
d) Đúng. Xét hàm số \(S\left( x \right) = 2x{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(S'\left( x \right) = 2{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}} - 2{x^2}{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}} = 2{e^{ - \frac{1}{2}{x^2}}}\left( {1 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 1. Khi đó AD = 2.
Danh sách bình luận