Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$.

b) Tia phân giác của góc AHC cắt AC tại D. Chứng minh $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}$.

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta AHC\backsim \Delta BHA\left( g.g \right)$, suy ra tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng, từ đó ta có: $A{H^2} = HB.HC$

Nhân cả hai vế với HC và biểu diễn tỉ lệ thức tạo thành: $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}$.

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$ (HD là đường phân giác của tam giác AHC)

Kết hợp ta được điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat A = \widehat H\left( { = 90^\circ } \right)\\\widehat B\,{\rm{chung}}\end{array}$

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)$.

c) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BHA$ có:

$\widehat {AHC} = \widehat {BHA}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {CAH} = \widehat {ABH}$ (cùng phụ với $\widehat C$)

Suy ra $\Delta AHC\backsim \Delta BHA\left( g.g \right)$

Do đó $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{AH}}$

suy ra $A{H^2} = HB.HC$

Nhân cả hai vế với HC, ta được:

$A{H^2}.HC = HB.H{C^2}$

Do đó $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}$

Mà HD là đường phân giác của tam giác AHC nên $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$

Do đó $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}$ (đpcm).