Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$.

b) Tia phân giác của góc AHC cắt AC tại D. Chứng minh \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta AHC\backsim \Delta BHA\left( g.g \right)$, suy ra tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng, từ đó ta có: \(A{H^2} = HB.HC\)

Nhân cả hai vế với HC và biểu diễn tỉ lệ thức tạo thành: \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}\).

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\) (HD là đường phân giác của tam giác AHC)

Kết hợp ta được điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\), ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat H\left( { = 90^\circ } \right)\\\widehat B\,{\rm{chung}}\end{array}\)

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)$.

c) Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHA\) có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {BHA}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {CAH} = \widehat {ABH}\) (cùng phụ với \(\widehat C\))

Suy ra $\Delta AHC\backsim \Delta BHA\left( g.g \right)$

Do đó \(\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{AH}}\)

suy ra \(A{H^2} = HB.HC\)

Nhân cả hai vế với HC, ta được:

\(A{H^2}.HC = HB.H{C^2}\)

Do đó \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}\)

Mà HD là đường phân giác của tam giác AHC nên \(\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)

Do đó \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}\) (đpcm).