Đề bài

Cho các số \(x,y,z \ne 0\) thỏa mãn \(x + y + z = xyz\) và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3\). Tính giá trị biểu thức \(B = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\).

Phương pháp giải

Từ giả thiết \(x + y + z = xyz\) suy ra \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1\).

Biến đổi B thành biểu thức chứa \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}\) và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\).

Khi đó thay số ta tính được B.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Do \(x,y,z \ne 0\) và \(x + y + z = xyz\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}x + y + z = xyz\\\frac{{x + y + z}}{{xyz}} = 1\\\frac{x}{{xyz}} + \frac{y}{{xyz}} + \frac{z}{{xyz}} = 1\\\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1\end{array}\).

Xét biểu thức:

\(B = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)\)

Khi đó: \(B = {3^2} - 2.1 = 9 - 2 = 7\).

Vậy \(B = 7\).