Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 4cm, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 10cm. Kẻ đoạn thẳng MD.

a) Chứng tỏ rằng DM // AB.

b) Chứng minh $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$.

c) Xác định tỉ số giữa diện tích của tam giác MDC với diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\), ta được DM // AB (theo định lí Thalès đảo)

b) Áp dụng định lí tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

c) Áp dụng tỉ số diện tích tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng từ đó tính được \(\frac{{{S_{\Delta MDC}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì M thuộc đoạn BC nên BM + CM = BC

suy ra CM = BC – BM = 15 – 10 = 5 (cm)

Ta có: \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\) suy ra \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\) nên DM // AB (theo định lí Thalès đảo)

b) Vì DM // AB nên $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$ (định lí tam giác đồng dạng)

c) Vì $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$ nên \(\frac{{{S_{\Delta MDC}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}} = \frac{{C{D^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{CD}}{{AC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{{12}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\).