Đề bài

Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Biết chu vi tứ giác đó là \(52\;{\rm{cm}}\) và một đường chéo là \(10\;{\rm{cm}}\). Độ dài đường chéo còn lại là

• A. \(12\;{\rm{cm}}\).
• B. \(18\;{\rm{cm}}\).
• C. \(16\;{\rm{cm}}\).
• D. \(24\;{\rm{cm}}\).

Phương pháp giải

Chứng minh tứ giác là hình thoi.

Từ chu vi hình thoi suy ra cạnh = chu vi : 4.

Sử dụng định lí Pythagore để tính đường chéo còn lại.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ABCD là hình thoi.

Độ dài cạnh của hình thoi ABCD là: \(AB = 52:4 = 13\left( {cm} \right)\)

Giả sử đường chéo \(BD = 10cm\) và O là giao điểm của hai đường chéo thì \(BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.10 = 5\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O, ta có:

\(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\) suy ra \(AO = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}}  = 12\left( {cm} \right)\)

Do O là trung điểm của AC nên \(AC = 2AO = 2.12 = 24\left( {cm} \right)\)

Đáp án D

Đáp án : D