Đề bài

Biết hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm đa thức bậc ba và parabol (P) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Tính diện tích phần kẻ hình ca-rô của hình vẽ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P) để tìm hệ số a của phương trình hoành độ giao điểm. Từ đó, áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Dựa vào đồ thị hàm số đề bài cho ta có:

Parabol (P) đi qua gốc toạ độ O nên hàm số bậc hai có dạng \(f\left( x \right) = m{x^2} + nx\).

Xét hàm số bậc ba \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị (C), vì đồ thị (C)  đi qua điểm (0;2) nên d = 2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P):

\(g\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow a\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\).

Mặt khác \(g\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + 2 = m{x^2} + nx \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - m} \right){x^2} + \left( {c - n} \right)x + 2 = 0\).

Nên ta có hệ số tự do \( - 2a = 2 \Leftrightarrow a =  - 1\).

Do đó \(g\left( x \right) - f\left( x \right) =  - \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\).

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| { - \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x}  \approx 3,08\).