Đề bài

Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến địa điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h, rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h.

Vị trí của M cách B một khoảng bằng bao nhiêu ki-lô-mét thì người canh hải đăng đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đặt BM = x. Lập hàm số biểu diễn thời gian người canh hải đăng đến kho rồi tìm x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi BM = x (km, \(0 \le x \le 7\)).\(\)

Khi đó \(AM = \sqrt {{x^2} + 25} \) (km).

Thời gian người đó đi từ A đến M rồi đến C là \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6}\) (giờ).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{4\sqrt {{x^2} + 25} }} - \frac{1}{6}\) .

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x = 4\sqrt {{x^2} + 25} \)\( \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5  \in \left[ {0;7} \right]\).

\(f\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}}\), \(f\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}\), \(f\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{5\sqrt 5 }}{{12}} + \frac{7}{6}\).

Vậy để đến kho nhanh nhất thì \(x = 2\sqrt 5  \approx 4,47\) (km).