Đề bài

Hai mái nhà trong hình bên là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 3,8 m; OA = 2,2 m; OB = 3 m. Gọi \(\alpha \) là góc phẳng nhị diện tạo bởi hai mái nhà và \(\cos \alpha  = \frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản và \(m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N}\). Tính \(3m + {n^2}\)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc xác định góc nhị diện và định lý cosin cho tam giác để tính.

Giả sử hai mái ngói là hai hình chữ nhật OAA’O’ và OBB’O’. Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OAA'O'} \right) \cap \left( {OBB'O'} \right) = OO'\\OA \bot OO',\,OA \subset \left( {OAA'O'} \right)\\OB \bot OO',\,OB \subset \left( {OBB'O'} \right)\end{array} \right.\) nên \(\widehat {AOB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,OO',B} \right]\). Vậy \(\widehat {AOB} = \alpha \).

Áp dụng định lý cosin cho tam giác OAB ta được:

\(\cos \widehat {AOB} = \cos \alpha  = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{2,{2^2} + {3^2} - 3,{8^2}}}{{2.2,2.3}} =  - \frac{1}{{22}} = \frac{m}{n}\)\( \Rightarrow m =  - 1;n = 22\).

Vậy \(3m + {n^2} =  - 3 + 484 = 481\).