Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 2 - n\end{array} \right.,\forall n \ge 2\).
a) \({u_2} = 4\).
b) \({u_n} - n = 2{u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)\).
c) Đặt \({v_n} = {u_n} - n\) thì dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.
d) \({S_{100}} = 2524 + {2^{99}}\).
a) \({u_2} = 4\).
b) \({u_n} - n = 2{u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)\).
c) Đặt \({v_n} = {u_n} - n\) thì dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.
d) \({S_{100}} = 2524 + {2^{99}}\).
Thay số vào công thức đã cho.
\(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân khi \({v_n} = q.{v_{n - 1}}\) (q là hằng số).
Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \(S = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).
a) Đúng. Ta có: \({u_2} = 2.{u_1} + 2 - 2 = 2.2 = 4\).
b) Sai. Ta có: \({u_n} - n = 2\left( {{u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)} \right)\).
c) Đúng. Đặt \({v_n} = {u_n} - n\) thì \({v_{n - 1}} = {u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)\). Mà \({u_n} - n = 2\left( {{u_{n - 1}} - \left( {n - 1} \right)} \right)\) nên \({v_n} = 2{v_{n - 1}}\) dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.
d) Đúng. Từ \({v_n} = 2{v_{n - 1}}\) dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = 1,\) công bội \(q = 2\) nên số hạng tổng quát \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {2^{n - 1}}\) mà \({v_n} = {u_n} - n\) nên \({2^{n - 1}} = {u_n} - n \Leftrightarrow {u_n} = {2^{n - 1}} + n\).
\({S_{100}} = \left( {{2^0} + {2^1} + ... + {2^{99}}} \right) + \left( {1 + 2 + ... + 100} \right) = \frac{{1\left( {1 - {2^{99}}} \right)}}{{1 - 2}} + \frac{{\left( {1 + 100} \right)50}}{2} = 2524 + {2^{99}}\).
Danh sách bình luận