Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AC = a\sqrt 5 \) và \(AD = a\sqrt 2 \). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) Đường cao của hình chóp S.ABCD là SA.

Đúng

Sai

b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), với AH là đường cao của tam giác SAB.

Đúng

Sai

c) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

Đúng

Sai

d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SB bằng  \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Đường cao của hình chóp S.ABCD là SA.

Đúng

Sai

b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), với AH là đường cao của tam giác SAB.

Đúng

Sai

c) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

Đúng

Sai

d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SB bằng  \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

a) Đúng. Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó SA là đường cao của hình chóp S.ABC.

b) Đúng. Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\), \(H \in SB\) (1)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right),AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow \)\(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

c) Sai. Ta có \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}}  = a\sqrt 3 \).

Xét trong tam giác vuông \(SAB\) có \(AH\) là đường cao, ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Leftrightarrow SA = a\).

Do đó: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.BC.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

d) Sai. Ta có:

 \(\left. \begin{array}{l}MN{\rm{//}}BC\\MN \not\subset \left( {SBC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

Do đó \(d\left( {MN;SB} \right) = d\left( {MN;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).